Enunciado oficial
EJERCICIO 1. (2,5 puntos)
Una ventana tiene forma de rectángulo y está coronada por un semicírculo. Sabiendo que el perímetro de la ventana mide 8 metros, halla las dimensiones de la ventana que permitan la mayor entrada de luz.
Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Transcripción del enunciado oficial de Matemáticas II 2026; las fórmulas se presentan con formato web. Las soluciones, pistas y esquemas son propios de Domina la Materia.
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Escribe el perímetro exterior como 2h + 2r + πr y expresa el área solo en función de r.
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Desarrollo
Paso 1. Elegir variables y escribir la restricción
Sea r el radio del semicírculo y h la altura del rectángulo. La anchura es 2r. El perímetro exterior es 2h + 2r + πr = 8, luego h = 4 − (1 + π/2)r. El dominio físico es 0 < r < 8/(2 + π).
Paso 2. Construir la función de área
A(r) = 2rh + (πr²)/2 = 8r − (2 + π/2)r². Es una parábola estrictamente cóncava.
Paso 3. Maximizar y comprobar
A′(r) = 8 − (4 + π)r; se anula en r = 8/(4 + π). Como A″(r) = −(4 + π) < 0, ese punto es el máximo global del dominio. La altura rectangular resulta h = 8/(4 + π) = r.
Resultado: anchura = 16/(4 + π) m ≈ 2,240 m; altura rectangular = 8/(4 + π) m ≈ 1,120 m; altura total = 16/(4 + π) m ≈ 2,240 m.
Qué valora la pauta oficial. Modelar el área y el perímetro, reducir a una variable, derivar y justificar el máximo.
Comprobación
Con r = h = 8/(4 + π), el perímetro es 2h + (2 + π)r = 8 m. La segunda derivada del área es negativa.
Errores frecuentes
No cuentes el diámetro superior como borde exterior: es la unión interna entre el rectángulo y el semicírculo. La altura total sí incluye el radio.
Sigue practicando
Repasar la lección: Optimización con condiciones →