Enunciado oficial
EJERCICIO 4.1. (2,5 puntos)
Considera la recta r ≡ {x = −2λ, y = −1 + 2λ, z = 3 + 2λ} y el plano π ≡ x − 2y + z − 3 = 0.
a) [1 punto] Determina la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y que está contenida en π.
b) [1,5 puntos] Halla el punto simétrico de P(1, 1, 1) respecto de π.
Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Transcripción del enunciado oficial de Matemáticas II 2026; las fórmulas se presentan con formato web. Las soluciones, pistas y esquemas son propios de Domina la Materia.
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Interseca r con π para hallar el punto de corte. El director buscado debe ser ortogonal tanto al director de r como al normal del plano.
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Desarrollo
Paso 1. Hallar el punto común con el plano
En r: (x,y,z) = (0,−1,3) + λ(−2,2,2). Sustituir en π: x − 2y + z − 3 = 2 − 4λ = 0. Entonces λ = 1/2 y Q = (−1,0,4).
Paso 2. Buscar un vector director permitido
Un director v debe ser perpendicular tanto a d = (−2,2,2) como al normal n = (1,−2,1) del plano. v = (3,2,1) cumple v·d = 0 y v·n = 0. La recta pedida es (x,y,z) = (−1,0,4) + μ(3,2,1).
Paso 3. Reflejar P en el plano
Para P = (1,1,1), n·P − 3 = −3 y ||n||² = 6. La reflexión es P′ = P − 2[(n·P − 3)/||n||²]n = P + n = (2,−1,2). Su punto medio con P está en π.
Resultado: recta: (x,y,z) = (−1,0,4) + μ(3,2,1); simétrico de P: (2,−1,2).
Qué valora la pauta oficial. Determinar un director en el plano y perpendicular a r; construir la normal por P y hallar su simétrico.
Comprobación
El punto común Q = (−1,0,4) pertenece a π y a r. (3,2,1) es perpendicular al director de r y al normal de π. El punto medio de P y P′ = (2,−1,2) pertenece a π.
Errores frecuentes
Una recta perpendicular a r que pase por el punto de corte puede salir del plano: exige también que su director sea paralelo a π.
Sigue practicando
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