Enunciado oficial
EJERCICIO 1. (2,5 puntos)
La velocidad de crecimiento de la población de peces en un lago al cabo del tiempo, t en años, viene dada por P′(t) = 20 t e−t/10, siendo P(t) la población de peces. Sabiendo que la población inicial es de 1000 peces, calcula cuántos tendrá el lago transcurridos 10 años.
Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Transcripción del enunciado oficial de Matemáticas II 2026; las fórmulas se presentan con formato web. Las soluciones, pistas y esquemas son propios de Domina la Materia.
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Integra t·e^(−t/10) por partes y usa P(0) = 1000 para hallar la constante antes de sustituir t = 10.
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Desarrollo
Paso 1. Integrar la velocidad
P′(t) = 20t e⁻ᵗ/¹⁰. Por partes, ∫20t e⁻ᵗ/¹⁰ dt = −200(t + 10)e⁻ᵗ/¹⁰ + C.
Paso 2. Usar la condición inicial
P(0) = −2000 + C = 1000, de donde C = 3000. La población es P(t) = 3000 − 200(t + 10)e⁻ᵗ/¹⁰.
Paso 3. Evaluar tras diez años
P(10) = 3000 − 4000/e ≈ 1528,48. El modelo predice unos 1528 peces; el valor no entero es el resultado del modelo continuo.
Resultado: P(10) = 3000 − 4000/e ≈ 1528,48; aproximadamente 1528 peces.
Qué valora la pauta oficial. Obtener la función de población, incorporar la condición inicial y evaluar el tiempo pedido.
Comprobación
P(t) = 3000 − 200(t + 10)e^(−t/10) cumple P(0) = 1000 y P′(t) = 20t·e^(−t/10).
Errores frecuentes
P′(10) es una velocidad, no la población a los diez años. No omitas la constante que fija el dato inicial.
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