Enunciado oficial
EJERCICIO 2. (2,5 puntos)
Se sabe que la función f : ℝ → ℝ definida por f(x) = x³ + ax² + bx + c, verifica que: f(1) = 0, x = 0 es un punto crítico de la función y la recta tangente a su gráfica en x = −1, es paralela a la recta de ecuación y + 3x = 0. Determina a, b y c.
Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Transcripción del enunciado oficial de Matemáticas II 2026; las fórmulas se presentan con formato web. Las soluciones, pistas y esquemas son propios de Domina la Materia.
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Traduce las tres condiciones: una sobre f, dos sobre f′. La recta de referencia tiene pendiente −3.
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Desarrollo
Paso 1. Traducir f(1) = 0
Para f(x) = x³ + ax² + bx + c, la primera condición da 1 + a + b + c = 0.
Paso 2. Usar el punto crítico
f′(x) = 3x² + 2ax + b. Que x = 0 sea crítico implica f′(0) = b = 0.
Paso 3. Usar el paralelismo de tangentes
La recta y + 3x = 0 tiene pendiente −3. Se exige f′(−1) = 3 − 2a + b = −3. Con b = 0, a = 3. Finalmente, 1 + 3 + c = 0, así que c = −4.
Resultado: a = 3, b = 0, c = −4; f(x) = x³ + 3x² − 4.
Qué valora la pauta oficial. Traducir las tres condiciones a ecuaciones y resolverlas justificando la pendiente de la recta.
Comprobación
Con (a,b,c) = (3,0,−4), f(1) = 0, f′(0) = 0 y f′(−1) = −3.
Errores frecuentes
La tangente es paralela a una recta de pendiente −3, no +3. Un punto crítico se expresa mediante f′(0) = 0.
Sigue practicando
Repasar la lección: Regla de la cadena y derivadas compuestas →