Enunciado oficial
EJERCICIO 3.2. (2,5 puntos)
Considera las matrices A = 2234 y B = 3122.
a) [1 punto] Halla razonadamente el determinante de una matriz X que verifica A³XBᵗ = 5B²A⁻¹.
b) [1,5 puntos] Determina, si existe, una matriz Y que verifica A³YB⁻¹ = A².
Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Transcripción del enunciado oficial de Matemáticas II 2026; las fórmulas se presentan con formato web. Las soluciones, pistas y esquemas son propios de Domina la Materia.
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Calcula primero det(A) y det(B). En a), el determinante de 5 por una matriz 2 × 2 incorpora el factor 5²; en b), despeja Y respetando el orden de multiplicación.
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Desarrollo
Paso 1. Calcular los determinantes iniciales
Para A = [[2,2],[3,4]], det(A) = 2; para B = [[3,1],[2,2]], det(B) = 4. Ambas matrices son invertibles.
Paso 2. Obtener det(X)
Tomar determinantes en A³XBᵗ = 5B²A⁻¹ da 2³·det(X)·4 = 5²·4²·(1/2), ya que multiplicar una matriz 2×2 por 5 multiplica su determinante por 5². Por tanto, 32 det(X) = 200 y det(X) = 25/4.
Paso 3. Despejar Y y multiplicar
A³YB⁻¹ = A² implica Y = A⁻¹B. A⁻¹ = (1/2)[[4,−2],[−3,2]], de modo que Y = [[4,0],[−5/2,1/2]]. Sustituirla devuelve A².
Resultado: det(X) = 25/4; Y = [[4, 0], [−5/2, 1/2]].
Qué valora la pauta oficial. Aplicar la escala de determinante 5², justificar las inversas y verificar la matriz obtenida.
Comprobación
det(A) = 2, det(B) = 4 y det(X) = 25/4. La matriz Y = [[4,0],[−5/2,1/2]] satisface Y = A⁻¹B.
Errores frecuentes
No sustituyas det(5M) por 5 det(M): para orden 2 es 25 det(M). Las matrices no conmutan, así que conserva el orden al despejar Y.
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